精華 “等于”在數學中有多重含義

數學中有些概念相當模糊難懂，但“等于”的意義似乎是我們已經掌握的。然而，數學家們實際上并不完全同意什么構成兩個事物的相等，這可能會對日益使用的計算機驗證數學證明造成困擾。

這個學術爭議已經持續了幾十年，但現在終于被提上日程，因為用于“形式化”或驗證證明的計算機程序需要明確的、具體的指令，而不是模棱兩可的數學概念定義，這些概念定義在計算機缺乏的背景下容易被誤解。

英國帝國理工學院的數學家Kevin Buzzard在與計算機程序員合作時遇到了這個問題，這促使他重新審視“這是等于那”的定義，挑戰有關平等的各種合理口號。

Buzzard在arXiv服務器上的預印本中寫道：“六年前，我以為我理解了數學上的平等。我認為它是一個定義明確的術語……然后我開始嘗試在計算機定理證明器中做碩士級別的數學，我發現平等是一個比我想象中更棘手的概念。”

等號(=)由威爾士數學家Robert Recorde于1557年發明，它優雅地用兩條平行線表示放在兩邊的對象之間的對等關系。最初它并沒有流行起來，但隨著時間的推移，Recorde的直觀符號取代了拉丁詞組“aequalis”，并為計算機科學奠定了基礎。在其發明后的整整400年，等號首次作為計算機編程語言FORTRAN I的一部分被使用。

然而，平等的概念有更長的歷史，至少可以追溯到古希臘。現代數學家在實踐中使用這個術語時“相當松散”，Buzzard寫道。

在熟悉的用法中，等號建立了描述不相同數學對象代表相同價值或意義的方程，可以通過一些轉換和邏輯變換來證明。例如，整數2可以描述一對對象，1 + 1也可以。

但自19世紀末以來，數學家們使用了第二種平等定義，那時集合論出現了。

隨著集合論的發展，數學家對平等的定義也有所擴展。像{1, 2, 3}這樣的集合可以被認為與{a, b, c}這樣的集合“相等”，因為一種稱為規范同構的隱含理解，它比較組結構之間的相似性。

Buzzard告訴《新科學家》的Alex Wilkins：“這些集合以完全自然的方式相互匹配，數學家們意識到，假如我們也稱這些為相等會超級方便。”

然而，將規范同構視為平等現在對試圖使用計算機形式化證明的數學家們造成了“真正的麻煩”，包括幾十年前的基礎概念。

Buzzard告訴Wilkins：“目前存在的任何[計算機]系統都無法捕捉像Grothendieck這樣的數學家使用等號的方式，”他指的是20世紀依靠集合論描述平等的領先數學家Alexander Grothendieck。

一些數學家認為他們應該重新定義數學概念，以正式將規范同構等同于平等。

Buzzard不相同意。他認為數學家與機器之間的不一致應該促使數學家重新思考他們對像平等這樣基礎的數學概念的確切定義，以便計算機能夠理解它們。

Buzzard寫道：“當一個人被迫寫下自己的真實意思，不能躲在那些定義不清的詞語背后時，有時會發現自己需要做更多的工作，甚至重新思考某些想法應該怎么樣呈現。”

本文譯自 ScienceAlert，由 BALI 編輯發布。

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